Vrai ou faux ? - Solution 2

La droite représentant la fonction \(f'\) est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle \([-3~;0]\) par exemple. Donc \(f'\) est strictement positive sur cet intervalle : on en déduit que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \([-3~;0]\) .

L'affirmation 1 est fausse.

La droite représentant la fonction \(f'\) est située en-dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle \([2~;4]\) . Donc \(f'\) est strictement négative sur cet intervalle : on en déduit que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \([2~;4]\) .

L'affirmation 2 est vraie.

On détermine le signe de \(f'\) graphiquement et on en déduit les variations de la fonction \(f\) .

L'affirmation 3 est vraie.

La fonction \(f\) définie par \(f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+4\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel  \(x\) , \(f'(x)=-\dfrac{1}{2}\times2x+2\) soit \(f'(x)=-x+2\) . En particulier, \(f'(0)=2\) .

Or, on lit graphiquement que l'image de \(0\) par la fonction \(f'\) est égale à 1 donc la fonction \(f\) n'est pas définie par \(f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+4\) .

L'affirmation 4 est fausse.

On lit graphiquement que \(f'(-2)=3\) et \(f'(-2)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point d'abscisse \(-2\) .

L'affirmation 5 est vraie.